摘要：向量的概念来表示：向量的起点为参考系S的原点，终点为点G。设定刚体的位置需要三个坐標，例如，採用直角坐標系，这三个坐標为x-坐標、y-坐標、z-坐標。这用掉了三个自由度。 刚体的取向：描述刚体取向的方法有好几种，包括方向余弦。...向量的概念来表示：向量的起点为参考系S的原点，终点为点G。设定刚体的位置需要三个坐標，例如，採用直角坐標系，这三个坐標为x-坐標、y-坐標、z-坐標。这用掉了三个自由度。 刚体的取向：描述刚体取向的方法有好几种，包括方向余弦。
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在数学领域里，算子（operator）有别于物理的算符，是一种映射，一个向量空间的元素通过此映射（或模）在另一个向量空间（也有可能是相同的向量空间）中产生另一个元素。 算子对于线性代数和泛函分析都至关重要，它在纯数学和应用数学的许多其他领域中都有应用。 例如，在经典力学中，导数的使用无处不在，而在。
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zai shu xue ling yu li ， suan zi （ o p e r a t o r ） you bie yu wu li de suan fu ， shi yi zhong ying she ， yi ge xiang liang kong jian de yuan su tong guo ci ying she （ huo mo ） zai ling yi ge xiang liang kong jian （ ye you ke neng shi xiang tong de xiang liang kong jian ） zhong chan sheng ling yi ge yuan su 。 suan zi dui yu xian xing dai shu he fan han fen xi dou zhi guan zhong yao ， ta zai chun shu xue he ying yong shu xue de xu duo qi ta ling yu zhong dou you ying yong 。 li ru ， zai jing dian li xue zhong ， dao shu de shi yong wu chu bu zai ， er zai 。
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由于这个模型所考虑的所有向量都是每个元素严格非负的，因此如果余弦值为零，则表示查询向量和文档向量是正交的，即不符合（换句话说，就是检索项在文档中没有找到）。如果要了解详细的信息可以查看余弦相似性这条目。 在Salton，Wong和Yang 提出的传统向量空间模型中，一个词组在文档向量。
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{\displaystyle \Sigma } 在点 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 处的单位法向量的方向余弦。 这两个公式都叫做高斯公式，不过这两公式仅仅是表达方式不同，其实是相同的定理，这可以用变数变换得到两公式的右边都等於 ∬ Σ ( P , Q。
数学上，赋范向量空间中的单位向量就是长度为 1 的向量。单位向量的符号通常有个“帽子”，如： i ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} } 。欧几里得空间中，两个单位向量的点积就是它们之间角度的余弦（因为它们的长度都是1）。 一个非零向量 u {\displaystyle。
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0°。则，若最陡的坡度是40%，这条路的坡度小一点，是20%，也就是40%乘以60°的余弦。 这个现象可以如下数学的表示。山的高度函数 H {\displaystyle H} 的梯度点积一个单位向量给出表面在该向量的方向上的斜率。这称为方向导数。 纯量函数 f : R n ↦ R {\displaystyle。
向量空间中的每个向量可以表示为基向量的线性组合一样。 在数值分析和逼近理论中，基函数也称为混合函数，原因是它们用在插值上：把基函数混合起来可作为插值函数（“混合”的方式是根据基函数对数据点的评估）。 多项式基底是將多项式方程式分解为线性函数。 正弦和余弦形成平方可积函数的（正交）Schauder。
三角函数在物理学是研究振动和波不可或缺的工具，如简谐振动满足以下微分方程，正弦和余弦函数都满足 y ″ + y = 0 {\displaystyle y''+y=0\,} 就是说，它们加上自己的二阶导数都等于0函数。在由所有这条方程的解的二维向量空间 V {\displaystyle V} 中，正弦函数是满足初始条件。
在三维空间裏，直轴（直线）、直轴段、有向轴、有向轴段（向量）的定向是由它们与参考系的参考轴之夹角设定的。也可以用別的方法，例如方向余弦方法。 在三维空间裏，一个平面的定向是垂直於此平面的一个向量的定向。 在三维空间裏，刚体的定向涉及整个刚体的定位。假若一个刚体內中一点已被固定，刚体仍旧能够绕著固定点。
向量和矩阵）。 不只如此，哈密顿还创造了向量的內外积。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个纯量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。若两个纯量部为零的四元数相乘，所得的纯量部便是原来的两个向量部的纯量积的负值，而向量部则为向量积的值，但它们的重要性仍有待发掘。。
在这篇文章內，向量与标量分別用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小则用 r {\displaystyle r\,\!} 来表示。 在解析几何裏，一个向量的三个方向余弦分別是这向量与三个坐標轴之间的角度的余弦。 假设 v。
在数学和向量代数领域，外积（cross product）又称叉积、叉乘、向量积（vector product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，使用符号 × {\displaystyle \times } 。与点积不同，它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量 a {\displaystyle。
三角函数线是正弦线、余弦线和正切线的总称，是三角函数的几何表示。 由于 sin α = y r {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y}{r}}} ， cos α = x r {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x}{r}}}。
余弦相似性计算）並且和约翰·鲁伯特·弗斯的分布假说（英语：Distributional semantics）有关。 C （页面存档备份，存于互联网档案馆） Java/Scala Python （页面存档备份，存于互联网档案馆） Python （页面存档备份，存于互联网档案馆） 向量空间模型。
A {\displaystyle A} 的反特征向量 x {\displaystyle x} ，是被 A {\displaystyle A} 作用后旋转角度最大的向量。对应的反特征值 μ {\displaystyle \mu } 是最大旋转角的余弦。最大旋转角 ϕ ( A ) {\displaystyle。
在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的方阵 A {\displaystyle A} ，它的特征向量（eigenvector，也译固有向量、本征向量） v {\displaystyle v} 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 v {\displaystyle v} 保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变。即。
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为了使这些在数学上精确，必须明确定义距离、角、平移和旋转的概念。标准方式是定义欧几里得平面为装备了内积的二维实数的向量空间。有着: 在这个向量空间中的向量对应于在欧几里得平面中的点， 在向量空间中的加法运算对应于平移， 内积蕴涵了角和距离的概念，它可被用来定义旋转。。
从代数角度看，先求两数字序列中每组对应元素的积，再求所有积之和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两向量的长度与它们夹角余弦的积。这两种定义在笛卡尔坐标系中等价。 点积的名称源自表示点乘运算的点号（ a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} ），读作。
余弦相似性通过测量两个向量的夹角的余弦值来度量它们之间的相似性。0度角的余弦值是1，而其他任何角度的余弦值都不大于1；并且其最小值是-1。从而两个向量之间的角度的余弦值确定两个向量是否大致指向相同的方向。两个向量有相同的指向时，余弦相似度的值为1；两个向量夹角为90°时，余弦。
在这篇文章內，向量与标量分別用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小则用 r {\displaystyle r\,\!} 来表示。四维矢量用加有標号的斜体显示。例如， x μ {\displaystyle {x}^{\mu。
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